무리수와 실수 뜻/성질 정리해볼까요?(+무리수 소수 부분)

루트를 배웠으니 수체계는 무리수로 확장되었습니다. 이 글에서는 유리수와 무리수 뜻을 정의하고 소수를 분류하겠습니다. 또한 실수 뜻이 무엇인지 알아보고, 실수의 성질과 대소비교도 해보고, 무리수의 정수부분과 소수 부분 구하는 방법까지 알아보고자 합니다.

유리수와 무리수 뜻

중2까지 우리는 유리수까지 배웠습니다. 제곱근과 루트를 배우면서 수체계는 확장됩니다.

• 유리수 : 분수꼴로 나타낼 수 있는 수. (이때 분모는 0이 아닌 정수이고, 분자는 정수입니다.)
  유리수 예는 -1,2,0 등과 같은 정수도 분모가 1인 분수꼴로 바꿀 수 있으므로 유리수이고, 1/3, -0.25, 순환소수 등도 분수로 표현되니 유리수입니다. 또한 √4는 2와 같으므로 유리수입니다.
• 무리수 : 유리수가 아닌 수입니다. 즉 순환소수가 아닌 무한소수를 말합니다.
  무리수 예는 √2=1.414213... π=3.141592... 등 순환하지 않는 무한소수가 무리수입니다.

 

이렇게 유리수와 무리수를 합치면 실수(Real number)라 합니다.

 

소수의 분류

소수는 크게 유한소수와 무한소수로 나뉩니다.

• 유한소수 : 소수점 아래 0이 아닌 수가 유한개인 소수
• 무한소수 : 소수점 아래 0이 아닌 수가 무한개인 소수
  • 순환소수 : 일정한 수가 반복되는 무한소수
  • 순환하지 않는 무한소수 : 순환소수가 아닌 수 (=무리수)

아래 표를 참고하시면 좋겠습니다.

실수의 성질

실수는 유리수와 무리수를 합친 것을 말합니다.

실수는 다음과 같이 분류할 수 있습니다.

실수의 성질을 정리해 볼게요.

• 유리수와 무리수는 수직선 위에 나타낼 수 있습니다.
• 모든 실수는 수직선 위의 한 점에 대응됩니다. (쉽게 말하면 실수를 수직선 위에 점찍을 수 있습니다.)
• 유리수만으로는 수직선을 완전히 메울 수 없습니다.
• 무리수만으로는 수직선을 완전히 메울 수 없습니다.
• 실수는 수직선을 완전히 메일 수 있습니다.
• 수직선 위의 한 점은 한 실수가 반드시 대응됩니다. (수직선 위의 한 점은 실수입니다.)
• 서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수(유리수/무리수)가 있습니다.
• 서로 다른 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수/무리수가 있습니다.
• 서로 다른 두 무리수 사이에는 무수히 많은 유리수/무리수가 있습니다.

실수의 대소비교

두 수의 차를 이용하면 실수의 크기 비교를 할 수 있습니다.

☞ a와 b가 실수일 때

• a-b>0 이면 a> b
• a-b=0 이면 a=b
• a-b <0 이면 a <b

무리수의 정수 부분과 소수 부분 구하기

무리수는 순환하지 않는 무한소수이므로 소수 부분을 전부 나타낼 수가 없습니다.

그렇다면 무리수의 소수 부분은 어떻게 나타낼 수 있을까요?

 

예를 들어 √5의 소수 부분을 알아보겠습니다.

√5는 √4 <√5 <√9 사이의 수로 2 <√5 <3 사이입니다.

따라서 √5는 2.xxxx...입니다.

이때 2를 정수 부분이라 합니다.

즉 √5=2+소수 부분으로 나타낼 수 있습니다.

따라서 √5의 소수 부분=√5-정수 부분=√5-2라고 할 수 있습니다.

 

¶ 정리하겠습니다.

무리수=정수 부분+소수 부분인데

이때 소수 부분 구하는 방법은

1. 무리수의 정수 부분을 구한다.
2. 무리수 소수 부분= 무리수- 정수 부분

이라고 할 수 있겠습니다.

 

지금까지 실수에 대하여 알아보고 무리수의 정수 부분 소수 부분을 정리해 보았습니다.

무리수에 얽힌 수학이야기는 아래글도 참고해 주세요.

생활 속 수학이야기17-루트2의 실생활 활용