재미있는 수학이야기8-곱셈과 나눗셈의 역사

곱셈과 나눗셈의 역사

오늘은 곱셈과 나눗셈이 어떤 변화 과정을 거쳐 왔는지 알아보는 시간을 갖고자 한다. 앞서 덧셈과 뺄셈의 역사를 알아보았는데 곱셈과 나눗셈 또한 여러 가지 방법의 과정을 거치다가 가장 편하고 좋은 방식인 지금의 방식에 이르렀다고 볼 수 있다. 그렇다면 과거 곱셈과 나눗셈은 어떤 방식으로 이루어졌는지 우선 곱셈의 경우부터 알아보자.

 

곱셈의 역사

고대 이집트 사람들은 위치적 기수법을 쓰지 않고 절대 기수법을 사용하였다. 위치적 기수법이라고 하는 것은 위치가 숫자를 나타내는 방식이며, 절대 기수법이라는 것은 숫자가 놓인 위치에 상관없이 하나의 기호가 하나의 숫자를 나타내는 것을 말한다. 즉 그들은 곱셈을 할 때 두 배를 만드는 방식으로 곱셈을 하였다. 

또한 러시아의 농부들은 한쪽은 두 배가 되고 다른 쪽은 절반이 되게 하여 곱셈을 했다고 한다.

 

유럽의 곱셈

중세 인도인들은 여러 가지 방식으로 곱셈을 하였다. 그 방법들은 아라비아를 거쳐 유럽으로 전해진다. 왼쪽에서 오른쪽으로 계산하는 방식 역시 유럽으로 전해져서 16세기 말까지 사용되었다고 한다. 

이탈리아의 수도사였던 파촐리라는 사람은 인도에서 전해진 곱셈 방식을 포함하여 그 당시에 알려져 있던 다양한 계산 방법을 모아서 1494년에 산술집성이라는 책을 내게 된다. 그 책에는 여덟 가지의 곱셈 방법이 소개되어 있다. 그 방법들에는 지금과 같은 방식으로 일의 자리 수끼리 곱하고 그다음 십의 자리와 곱하여 나온 값들을 적어 더하는 방법이 소개되어 있다. 

교차 곱셈 방법도 소개되어 있다. 이 방식은 두 자리 수의 경우에는 편하게 계산할 수 있지만 그 이상의 자릿수의 곱셈에서는 불편한 방식이다.

격자곱셈

격자곱셈은 인도인들이 사용하던 방식과 비슷한데 당시의 베네치아 창문에 사용되었던 격자 모양과 비슷하다고 하여 붙여진 이름이다. 파촐리가 제시했던 방법 중에 격자 곱셈은 지금도 미국 교과서에 소개되고 있다. 예를 들어보자. 54 ×25=54 ×(10+10+5)=540+540+270=1080+270=1350 이 나온다. 

 

나눗셈의 역사

지금도 사칙연산 중에 나눗셈 방법이 가장 어렵게 다가온다. 우리뿐만이 아니라 과거의 사람들에게도 나눗셈은 어려웠던 문제였다. 곱셈에서 만나 보았던 파촐리 또한 '나눗셈을 잘한다면 나머지는 모두 쉽다. 나머지들은 나눗셈 안에 들어 있기 때문이다.'라고 말한 것처럼 나눗셈은 그 안에 많은 의미를 담고 있다.

나눗셈의 의미

나눗셈에는 나누어지는 수인 피제수와 나누는 수인 제수가 몇 번 들어가는 것인지를 알아보는 방식인 포함제 방법과 어떤 것을 똑같이 나누어 준다면 몇 개씩 줄 수 있는지 알아보는 등분제 방법 두 가지가 있다.

고대의 나눗셈

고대 이집트 사람들은 피제수에 제수가 몇 번 들어가는지 제수를 두 배, 네 배 만들거나 절반으로 줄이는 과정을 반복하면서 나눗셈을 했다고 한다. 인도인들의 나눗셈에 대한 기록은 남아 있는 것이 없으며 아라비아의 알콰리즈미의 방식에 대한 나눗셈 기록은 남아 있다. 이런 나눗셈 방식은 유럽으로 전해져서 사용되었다고 한다. 

 

다양한 방식의 나눗셈

로마 교황이었던 제르베르는 산판의 계산법이라는 책을 냈는데 거기에는 여제법이라는 나눗셈 방법을 소개하고 있다. 교황이 나눗셈을 한다는 것도 특이한데 여제법 방식이 참으로 복잡한데 이 방법을 찾아낸 것도 신기한 일이다.

앞서 만나보았던 파촐리 또한 산술집성에 나눗셈에 대한 4가지 방식을 소개한다. 그중에 장제법(긴 나눗셈 방법) 말소법(또는 갈레법)이라는 방식이 있다. 16세기 말부터 18세기 말까지 갈레법은 장제법보다 우수하다고 하여 널리 사용되었다.

나눗셈 방식은 모든 방식이 다 어려워 이해하기가 쉽지 않았기에 세월이 흐르면서 지금과 같은 방법에 정착하였다고 볼 수 있다. 

 

지금까지 곱셈과 나눗셈의 역사에 대하여 알아보았다. 곱셈을 하는 방식은 한 가지가 아니고 다양하며 지금도 한 가지 방식에 국한되지 않고 다양하게 이루어지고 있는 만큼 사고의 유연성을 가지면 좋을 것 같다는 생각이 든다.  그러면 다음 시간에는 또 다른 수학 이야기로 찾아오고자 한다.