생활 속 수학 이야기15-구의 겉넓이 예

회전체와 구

오늘은 '구'에 대한 이야기를 해보려고 해요.  축구공, 지구본, 야구공 등과 같은 모양을 우리는 '구'라고 부르는데요.  회전체라는 것이 무엇인지, 그리고 회전체의 일종인 '구'에 대하여 알아보고, 구의 겉넓이에 대한 이야기를 해보도록 할게요. 그러면 시작하겠습니다.

 

회전체

회전체라는 개념은 한 직선을 축으로 하여 어떤 평면 도형을 돌렸을 때(회전시켰을 때) 나오는 입체도형을 말해요. 이때 축으로 이용했던 선을 우리는 회전축이라고 불러요.

팽이가 돌아갈 때처럼 돌린다고 생각하면 이해하기 편해요. 예를 들어볼까요? 회전축을 기준으로 직사각형을 회전시킨다면 원기둥이 나올 거예요. 직각삼각형을 돌린다면 원뿔이 만들어질 거예요. 그렇다면 반원을 돌리면 어떻게 될까요? 바로 우리가 알아볼 '구'가 만들어질 거예요.

 

구

'구'라는 것은 반원의 지름을 회전축으로 하여 한 바퀴 회전하였을 때 나오는 입체도형을 말해요. 이 때 반원의 중심이 바로 구의 중심이 되고, 반원의 반지름은 구의 반지름이 되는 것이지요. 이해되셨나요? 지구가 대표적인 '구'이지요. 우리가 적도를 기준으로 반쪽을 만들어서 위를 북반구라고 하고, 아래를 남반구라고 하는 것을 아시지요? 이것이 바로 구를 반으로 나누면 '반구'라고 하는데 이 말을 이용한 개념이 되었어요.

 

구의 겉넓이

그렇다면 이제 구의 겉넓이에 대하여 생각해볼게요. 겉넓이라는 것은 겉에 페인트 칠을 한다고 생각했을 때 색칠할 수 있는 면적이라고 생각할 수 있어요. 겉넓이를 구하기 위하여 반지름이 r인 구의 겉면에 털실을 칭칭 감아봤어요. 그렇게 구의 겉면을 다 덮은 이후 다시 그 털실을 풀어서 평면에 원모양으로 돌돌 말아봤다고 해요. 그랬더니 털실이 반지름의 길이가 2r인 원이 된다고 해요. 즉 구의 겉넓이는 반지름이 2r인 원의 겉넓이와 그 값이 동일하다고 볼 수 있지요. 따라서 구의 겉넓이는 π(2r)^2 이 되므로 4πr^2이 구의 겉넓이 공식이 되겠어요.

 

구 겉넓이 실생활 예

겨울이 되면 동물들은 겨울잠을 자러 동굴로 들어가지요. 겨울잠을 잘 때 동물들 입장에서는 어떤 것이 가장 걱정이 될까요? 먹이는 충분히 먹고 잠을 자겠지만 체온같은 경우는 내려가면 안 되니 체온 보호가 중요할 것 같다는 생각이 들어요.

곰이나 뱀, 다람쥐 등이 겨울잠을 잘 때의 모습이 어떤지 아시지요? 바로 공처럼 자기 몸을 말아서 움크리고 잠을 자요. 이것은 구가 모든 입체도형들 중에 겉넓이가 가장 작은 입체도형이기 때문이지요. 그래서 동물들은 겨울 동안 열을 조금이라도 덜 뺏기기 위하여 최대한 자신의 몸을 동그랗게 말아서 웅크리고 잠을 자는 것이지요. 우리도 잠을 잘 때 추우면 다리를 배까지 올려서 동그랗게 말지요? 이것도 바로 이 이유라고 할 수 있어요.

 

밥을 꼭꼭 씹어 먹어야하는 이유

소화가 잘되기 위해서는 밥을 꼭꼭 씹어먹어야 한다는 이야기. 많이 들어보셨지요? 음식물 모양을 구에 가깝다고 가정하고 생각해보도록 할게요.

반지름이 r인 이 구는 한번 씹으면 절반으로 나뉜다고 생각할게요. 즉 반구가 2개 만들어지는 것이지요. 각각의 겉넓이를 생각해보면 반지름이 r인 구의 겉넓이는  4πr^2 이 되는 것이지요. 그리고 반구의 겉넓이를 생각해보면 구의 겉넓이의 반에 단면인 원의 넓이를 합하면 되지요. 구의 겉넓이의 반은  2πr^2 이고 원의 넓이는  πr^2 이므로 그 합은 3πr^2이 되는 것이지요. 그런데 이것이 2개가 나오므로  6πr^2이 되지요.

비교해볼까요? 처음  4πr^2이 쪼개지면 6πr^2으로 그 겉넓이가 증가하게 되는 것이지요.

이것처럼 음식을 씹을수록 음식의 양이 막 늘어나거나 그러는 것은 아니므로 부피는 일정하지만 음식물은 잘게 쪼개지면서 그 겉넓이는 넓어지는 것이지요. 그러니깐 소화액에 묻을 수 있는 표면이 음식을 잘게 씹을수록 넓어지는 것이에요. 그래서 음식을 많이 씹을수록 소화액 침투가 용이해지므로 소화가 잘되는 것이지요. 이해되셨나요?

 

오늘은 구에 대한 이야기를 해보았어요. 어른들의 하신 말씀 속에 겉넓이에 대한 지혜가 담겨 있음을 알 수 있었고, 동물들의 행동에도 수학적 원리가 숨어 있음을 알 수 있었어요. 다음 시간에도 또 다른 이야기로 찾아오도록 하겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.