생활 속 수학이야기13-닮음비의 실생활 활용

닮음비와 실생활

실생활에 수학이 어떻게 이용되고 있는지 '생활 속 수학 이야기' 시리즈를 연재하고 있는데요. 오늘은 닮음비의 실생활 활용에 대한 이야기를 해보려고 합니다. 그러면 닮음비가 무엇인지 알아보고 그 활용도 알아보도록 할까요?

닮음비

닮음비라고 하는 것은 닮은 두 도형에서 각각 대응하는 변끼리의 길이의 비를 말합니다. 그렇다면 닮은 도형이라는 것은 무엇일까요? 평면과 입체일 때가 다른데요. 평면에서 닮은 도형은 대응변의 길이의 비가 일정하고, 대응각의 크기는 각각 같은 도형을 말합니다.

 

입체에서의 닮은 도형은 모서리의 길이의 비가 일정하고, 대응하는 면은 닮은 도형인 경우를 말해요. 이때 평면도형에서는 대응변의 길이의 비를 닮음비라고 하고, 입체도형에서는 대응하는 모서리 길이의 비를 닮음비라고 합니다.

넓이비와 부피비

그렇다면 닮은 두 도형의 넓이와 부피비도 길이의 비와 동일할까요? 만약 닮음인 두 도형의 길이의 비를 a:b라고 해봅시다. 그러면 넓이비는 a^2:b^2이고 부피비는 a^3:b^3 이 됩니다. 왜 이렇게 되는지 직관적으로 이해하기 위하여 사각형을 생각해볼게요. 그러면 넓이라는 것은 가로와 세로를 곱하는 것이므로 길이의 비로 나온 각각의 변을 두 번 곱하니 제곱이 된다고 생각할 수 있어요.

 

부피를 직관적으로 이해하기 위해서는 직육면체를 생각해볼게요. 부피는 가로와 세로와 높이를 곱하니 길이의 비로 나온 각각의 변을 세 번 곱하니 세제곱이 된다고 생각하면 이해가 편할 것 같아요.

 

피자와 닮음비

우리가 피자를 주문할 때 고민에 빠질 때가 있어요. 피자는 사이즈별로 그 가격이 다른데요. 여러 사람이 먹을 경우에 한 판만 시킬 수가 없으니 여러개를 시킬 때 같은 비용을 지불하고 큰 크기를 먹는 것이 소비자 입장에서는 유리하겠죠? 이럴 때 닮음비를 이용하면 유리하게 주문할 수 있으니 그 방법을 자세히 알아보도록 할게요.

예를 들어볼게요.
1. 미디엄 사이즈는 10.5인치이고 가격은 19800원입니다.
2. 라지 사이즈는 12인치이고 23900원입니다.
3. 패밀리 사이즈는 14인치이며 25900원입니다.
만약에 5명이 피자를 같이 먹는다고 한다면 어떻게 주문하는게 좋을까요? 미디엄을 두 개 시켜야 할지, 아니면 패밀리를 시켜야 할지.. 고민이 되겠지요?

피자는 원 모양입니다. 그러므로 닮음비는 지름의 길이의 비라고 할 수 있습니다. (반지름의 길이의 비로 봐도 좋지만 지름이 홀수인 경우 반지름은 소수점이 나오므로 지름의 길이의 비를 닮음비로 생각하는 것이 계산하기에 더 수월합니다.)
미디엄과 라지와 패밀리 사이즈의 지름 길이의 비는 10.5:12:14 입니다. 길이의 비는 각 항에 10씩 곱하여 소수점을 없애주면 105:120:140이고 21 :24 :28입니다. 그러면 넓이의 비는 제곱이 되므로 441:576:784 가 됩니다.

 

여기에서 미디엄 441과 패밀리 784만 비교해 볼게요. 사이즈에서는 패밀리가 미디엄의 약 2배정도의 크기가 됩니다. 하지만 미디엄으로 주문하게 된다면 19800*2=39600원이 되므로 크기는 거의 비슷하게 되는데 가격은 많이 차이가 나므로 미디엄을 2판 시키는 것이 불리하게 되겠지요. 이럴 때는 패밀리 사이즈를 한 판 주문하는 것이 더 유리할 것으로 생각되어집니다.

 

사과와 닮음비

사과를 생각해보면 사과는 구 모양입니다. 구는 대표적인 닮음 입체도형이지요. 사과를 사러 마트에 갔다고 해볼게요.
1. 사과의 반지름이 12cm 정도인 사과 2개가 5000원에 진열되어 있습니다.
2. 사과의 반지름이 6cm 정도인 사과가 5개가 5000원에 판매되고 있습니다.
(실제 가게에 가서 반지름을 잴 수는 없지만 두 사과의 크기의 차이가 2배 난다고 생각해 볼게요.)
그렇다면 두 도형의 닮음비는 2:1이고 사과는 입체도형이므로 부피를 생각해야 하니 부피비는 8:1이라고 할 수 있지요.

따라서 반지름이 12cm인 사과는 2개이므로 작은 사과가 16개 있어야 그 부피가 같다고 볼 수 있어요. 그러므로 이럴 때는 1번의 경우를 구매하는 것이 더 유리하다고 할 수 있겠어요.

오늘은 닮음비를 알아보고 닮음비의 실생활 활용의 예를 알아보았습니다. 알수록 재미있는 수학 이야기! 다음 시간에도 찾아오도록 할게요. 읽어주셔서 감사합니다.