생활 속 수학이야기6-꽃잎 수의 비밀 피보나치 수열

피보나치의 생애

오늘은 이탈리아 수학자인 피보나치와 그의 이름을 딴 피보나치수열에 대하여 만나보고자 한다. 우선 피보나치의 생애에 대하여 살펴보자. 피보나치는 이탈리아의 상인이었으며 중세 유럽의 수학자였다. 이탈리아 피사에서 1170년에 태어나 '피사의 레오나르도'라고도 불리었다. 그의 이름 피보나치라는 뜻은 '보나치의 아들'이라는 뜻이다. 그는 그의 아버지를 따라 이집트, 그리스 등을 여행하면서 아라비아와 동부의 수학을 접하였다. 그는 아라비아를 여행한 이후 쓴 '산반서'라는 책에서 갓 태어난 토끼 한 쌍의 번식을 통해 피보나치수열을 설명하였다.

피보나치수열이란

피보나치수열은 처음 두 항이 1로 한 후, 그 다음 항부터는 앞의 두 개의 항을 더하여 만든 수열을 말한다.
즉 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... 등으로 만들어지는 수열이다.
그는 다음 문제를 제시한다.
「갓 태어난 암수 토끼 한쌍이 있었다. 이 토끼 한쌍은 두 달 후부터 매달 암수 한싸의 토끼를 낳는다. 토끼들은 절대 죽지 않고, 새로 태어난 토끼들도 두 달 후부터는 매달 한 쌍의 토끼를 낳는다고 할 때 일 년 동안 태어나게 되는 토끼는 모두 몇 쌍이 될까?」
이 문제의 답을 적어보면 위에 적었던 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... 가 된다. 물론 이 문제는 현실적으로는 불가능한 상황이다. 토끼가 절대로 죽지 않을 리도 없고, 각 세대에서 암수가 한 마리씩 쌍으로 태어난다는 것도 말이 안되며, 남매끼리 짝짓기를 하므로 문제가 발생한다. 피보나치수열은 현실적으로 그렇게 된다는 것이 아니라 수학적으로 단순하게 생각하고 계산한 것이라고 할 수 있다.

꽃잎 개수 속에 숨겨진 비밀

많은 꽃들이 피보나치 수열에 있는 수만큼의 꽃잎을 가지고 있다.
예를 들어보자 클로버는 3잎이 많고, 백합의 꽃잎도 3장이다. 장미와 채송화는 5장, 코스모스 꽃잎은 8장이다. 금잔화는 13장, 치커리는 21장, 데이지는 13장이거나 21장이거나 34장의 꽃잎이 있다.
왜 꽃잎들은 피보나치 수열의 숫자만큼의 꽃잎들을 가지고 있는 것일까? 꽃잎의 역할에 대하여 생각해 보자. 꽃잎은 꽃이 피기 전에 봉오리 안에 있는 암술과 수술을 보호하는 역할을 한다. 이렇게 암술과 수술을 보호하려면 효과적인 모양으로 꽃잎들이 겹쳐져 있어야 그것들을 보호하기가 좋다. 그런데 피보나치 수만큼의 꽃잎이 있는 것이 꽃들에게 유리하여 꽃잎 개수가 이 수열을 따르고 있다고 한다.

나뭇가지의 수

나뭇가지에서도 피보나치 수열을 발견할 수 있다. 나무의 성장과정을 생각해보자.
나무는 처음에 하나의 줄기로 자라다가 2개의 가지로 나뉜다. 이 2개의 가지가 동일하게 영양분을 받아 똑같이 자라는 것이 아니라 한 가지가 더 많이 자라나게 된다. 그래서 한 가지는 그대로이고 나머지 가지에서 2개가 늘어나므로 가짓수는 3개가 된다. 이렇게 이전에 자라지 못한 가지는 그 사이에 영양분을 많이 흡수하였으므로 다시 2개의 가지가 늘어나서 그 다음 나뭇가지는 5개가 된다. 이런 규칙이 반복되어 나뭇가지가 증가하면 수는 1, 2, 3, 5, 8... 피보나치 수열이 되는 것이다.

음악 속의 피보나치수열

베토벤을 다들 잘 알고 있을 것이다. 그의 유명한 운명 교향곡. "빠바바 밤" 으로 시작하는 이곡. 이 "빠바바 밤"은 운명교향곡 1악장인데 이것은 세 번 등장한다. 첫 번째가 나온 이후 다음에 나오기까지 그 앞에는 377마다, 그 뒤에는 233마디가 배치되어 있다. 그런데 이 233과 377이 피보나치 수열이다.
또한 20세기 작곡가 바르토크의 '현악기, 타악기, 첼레스타를 위한 음악'에서 1악장이 89마디로 이루어져 있다. 55번째 지점에서는 클라이맥스가 나오고 그 뒤 34마디가 나온다. 그런데 여기에서 34, 55, 89가 피보나치 수열이다. 특히 바르토크 음악에서 이 피보나치수열에 대한 분석이 많이 이루어지고 있고, 그는 수학적 원리를 명시적으로 사용하여 작곡하기도 했다고 한다.

피보나치 수끼리의 비는?

연속하는 피보나치 수까리의 비는 어떤 특징을 가지고 있을까?
그 비를 계산한다면 인간이 가장 아름답다고 여겼던 황금비에 가까워진다는 것을 알 수 있다. 황금비는 약 1.618이다.

지금까지 우리는 생활 속에 숨겨져 있는 피보나치수열에 대하여 알아보았다. 다음 시간에는 또 다른 수학 이야기로 찾아오고자 한다.