생활 속 수학 이야기4- 음수의 탄생

음수의 발견

중학교 1학년이 되면 처음 보는 신기한 수가 등장한다. 바로 음의 부호를 갖는 음수. 음수를 배울 때 우리는 음수의 필요성에 대하여 언급한다. 뉴스에서 날씨를 알려줄 때 추운 겨울에 기온이 영하로 떨어질 때, 영상과 반대되는 개념으로 (-) 부호를 설명한다. 1,2,3.. 등과 같은 수를 우리는 자연수라고 부르며 -1,-2,-3.. 등과 같은 수를 음수라고 한다. 수직선 상에 나타내었을 때 0을 기준으로 오른쪽 방향의 수가 양수, 왼쪽 방향의 수를 음수라고 한다. 그렇다면 실제 역사 안에서 이 음수는 어떻게 발견되었을까? 많은 수학자들이 이 음수의 존재를 알았을까? 오늘은 그 이야기를 해보고자 한다.

음수를 몰랐던 수학자들

뛰어난 수학자들에게도 이 음수의 개념이 어려웠던 것 같다. 뛰어난 수학자인 파스칼도 '0에서 어떤 수를 빼도 줄어들지 않는다.'라고 하였다. 프랑스의 스탕달이라는 작가는 음수와 음수의 곱이 양수가 되는 이유를 알 수 없다고 했다. 즉 빚50에 빚 100을 곱하면 5000의 이익을 얻을 수 있는 것이냐고 반문했다. 이는 음수를 양의 개념으로 이해하려고 했기 때문에 발생한 문제였다.
또한 앞서 방정식에서 만나보았던 수학자 디오판토스는 방정식 계산 과정 안에서 음수를 발견하였다. 그러나 이 음수가 방정식 계산 과정 안에서 만들어지는 것일 뿐 의미 없는 것으로 생각하였다. 또한 7세기 아라비아 수학자 알콰리즈미는 도형을 이용하여 방정식을 풀었기에 음수의 의미를 받아들이지 않았다.

화씨(℉)의 탄생

음수를 몰랐기에 생겨난 것이 있다. 그것은 바로 화씨 온도이다. 물이 어는 온도는 0도이고 물이 끓는 온도는 100도이다. 그런데 날씨가 추워지면 0도 보다 아래의 수가 나오는 것이다. 그래서 화씨를 만들었다. 화씨에서 가장 낮은 온도를 0℉로 정하였는데 이는 영하 18도 정도 된다. 그래서 날씨가 아무리 추워도 영하 18도가 되지 않기 때문에 화씨를 사용하면 음수에 대하여 신경 쓰지 않아도 되었다.

동양에서 발견했던 음수

유럽에서는 데카르트 이후에 음수를 알게 되었지만, 동양의 중국에서는 오래 전부터 음수가 사용되었다. 한나라 시대에 있었던 구장산술에는 이런 내용이 나온다. 가축을 판 금액을 빨간 셈막대로, 가축을 사기 위해 지불할 금액은 검은 셈막대로 사용한다. 빨간 셈막대는 양수, 검은 셈막대는 음수를 의미한다. 여기에서 우리가 이용하는 흑자, 적자라는 말이 생겨난 것이다.
또한 인도에서는 자산을 양수로, 부채를 음수로 생각하였다. 이런 것을 토대로 생각해 보면 동양에서는 양수와 음수를 서로 상대적인 수의 형태로 생각하였다고 볼 수 있다. (이는 지금 학교에서 아이들에게 음수 개념을 알려줄 때와 유사하다. 지금도 이익&손해, 영상&영하 등 서로 반대되는 개념으로 음수의 필요성을 이야기한다.)

서양에서의 음수

16세기 즈음 유럽에서 음수의 기호가 만들어지고 음수가 사용되기 시작하였다. 앞서 만나봤던 타르탈리아에게서 3차 방정식 해법을 뺐었던 카르다노를 기억하는가? 그가 바로 음수를 제대로 인정한 사람이다. 그는 음수를 수로 보지는 않았지만 3차 방정식을 구하는 과정에 부족한 양을 -x라는 기호를 사용하여 음수를 다루었다. (즉 x는 문자이므로 양수인지 음수인지 알 수 없지만 카르다노는 x를 양수라고 생각한 것이다.) x라는 문자 안에 양과 음의 값이 모두 들어갈 수 있다는 개념은 데카르트 이후부터 가능하게 된다.

음수에 대한 새로운 시도

지금까지 많은 수학자들은 음수를 양의 개념으로 이해하려고 했다. 그런데 많은 문제점들이 발생하자(음수 곱하기 음수가 양수가 되는 개념을 설명하지 못한 것) 다른 관점에서 음수를 바라보고자 하였다.
19세기 영구 수학자 피콕은 음수를 형식적인 수로 이해하면서 현대수학이 더 발전할 수 있었다.

지금까지 우리는 음수가 발견되고 어떻게 변화되어 왔는지 동양과 서양을 나누어 살펴보았다. 한 번에 알려진 음수가 아니다. 수학자들조차 처음에 음수를 이해하기 어려웠던 것이다. 그러니 많은 학생들이 음수가 어렵다고 좌절하지 않았으면 좋겠다. 그러면 다음 시간에는 또 다른 수학 이야기로 만나보도록 하자.