생활 속 수학이야기3-방정식에 관하여

방정식에 대하여

우리가 방정식이라는 용어를 실제로 사용하는 것은 중학교 때이다. 그러나 초등학교 때에도 방정식을 배운다.
"ㅁ+2=3 이라고 할 때 ㅁ에 들어가는 수는? 바로 1이 된다." 이것이 바로 방정식이다. 중학교에서 배우는 방법과 다른 점은 바로 미지수 x가 나와서 x+2=3으로 식이 바뀌는 차이밖에 없는 것이다. 즉 방정식이란 x값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 말한다. 위의 x+2=3에서도 x=1이라고 하면 참이 되지만 x=4라고 하면 거짓이 된다. 이렇게 참 거짓이 달라지는 등호가 있는 식을 방정식이라고 부르는 것이다. (참고로 항상 참이 되는 등식을 우리는 항등식이라고 부른다.)

방정식의 시작

방정(方程)이라는 말은 2천년 전 중국 한나라 때의 수학책 '구장산술'에서 등장한다. 서양이 아닌 동양에서도 방정식에 대한 내용이 있었음을 알 수 있다. 그리고 그 이전으로 가면 기원전 1650년경 이집트의 파피루스에서는 11개의 일차방정식 문제가 등장하다. (파피루스는 식물인데 고대 이집트 사람들은 여기에 글씨도 쓰고 종이처럼 사용했다고 한다.)
여기에 등장했던 문제 하나 소개한다. "어떤 수에 그 수의 1/7을 더하면 24가 된다.' x에 대한 식으로 바꾸면 x+1/7x=24 로 바꿀 수 있다. 지금은 이 방정식을 풀기 위해서는 분모의 최소공배수를 양변에 곱해주고 좌변에는 미지수, 우변에는 상수를 옮긴 후 방정식을 푼다. 그러나 예전에는 x값에 실제 값을 하나씩 넣어보고 나오는 값을 이용하여 x를 유추했다고 한다. 예를 들어 위의 문제에서 x의 값에 7을 넣으면 답은 8이 나온다. 그런데 우변이 24이므로 8과 3배 차이가 난다. 그러므로 x를 7의 3배인 21로 유추하였다고 한다.

그리고 그리스 수학자 디오판토스의 묘비명에 적힌 방정식에 관한 이야기는 유명하다.
디오판토스는 자기 묘비에 자신이 산 세월을 방정식을 이용하여 나타내었다. 묘비에 적인 글은 다음과 같다.
"지나가는 나그네여! 이 비석 밑에는 디오판토스가 잠들어 있소. 그 생애의 1/6은 소년이었고, 1/12은 청년이었으며, 그 후 일생의 1/7을 혼자 살다가 결혼한 지 5년 후에 아들을 낳았노라. 그의 아들은 아버지 생애의 1/2만큼 살다가 죽었으며, 아들이 죽은지 4년 후에 그의 일생을 마쳤노라."
이 문제를 풀어보자. 디오판토스가 살았던 인생을 x라고 두고 식을 세우면 1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4=x
이 방정식을 풀면 디오판토스가 살다간 나이는 84살이 나온다.

고대 바빌로니아에서는 이차방정식에 관한 이야기가 나온다.
"어떤 정사각형의 넓이에서 그 정사각형의 한 변의 길이를 빼면 870이다. 이 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라." 그 문제에서 정사각형의 넓이에서 이차방정식이 유도될 수가 있다.

3차방정식에 관한 이야기는 수학자 두 사람에 대한 이야기가 있다. 바로 타르탈리아와 카르다노이다. 1515년경 페로라는 수학자가 특별한 3차 방정식 풀이법을 발견했다고 한다. 그런데 타르탈리아가 자신이 3차방벙식의 풀이법을 발견하였다고 주장한다. 이에 페로의 제자 피어와 타르탈리아는 공개 시합을 가졌는데 여기에서 타르탈리아가 완승을 거둔다. 이렇게 타르탈리아가 유명해지자 카르타노는 타르탈리아에게 3차방정식 풀이법을 가르쳐달라고 간청하였고, 그는 그 간청을 물리치지 못하고 비밀로 하겠다는 약속을 받고는 중요한 방법을 알려준다. 그러나 카르다노는 마치 자신이 그 방법을 발견한 것처럼 3차 방정식의 풀이법을 발표해 버린다. 이에 항의하였지만 소용이 없었고, 그는 그 충격으로 시름시름 앓다가 세상을 떠나고 만다.

5차 이상의 방정식에 대한 연구로 유명한 수학자는 아벨과 갈루아이다.
이렇듯 많은 수학자들이 깊은 역사 안에 오랜 시간 방정식을 연구해왔다. 중고등수학에서도 이 방정식이 중요한 부분을 많이 차지한다.
오늘은 방정식의 역사와 거기에 숨어져 있는 이야기들을 나누어 보았다. 다음 시간에 또 다른 수학 이야기로 찾아오도록 할 것이다.