재미있는 수학이야기1- 삼각형 내각의 합은 항상 180도일까?

유클리드에 대하여

오늘은 우리가 초등학교 때 배웠던 '삼각형 내각의 합이 180이다'라는 당연하다고 받아들이는 이 내용에 대하여 의문을 제기하고자 한다. 시작부터 당황스럽지 않은가? 180도가 아니라고? 이야기를 풀어가기에 앞서 '기하학 원론'의 유클리드에 대하여 알아보고 시작하고자 한다

 

유클리드는 기원전 그리스에서 태어난 수학자로 이집트의 알렉산드리아에서 활동한 수학자이다. 그는 기하학과 정수에 많은 업적을 남긴 수학자이다.  그 당시 프톨레마이오스 1세가 유클리드에게 물어봤다고 한다. '기하학을 배우는 데 지름길이 있나?'라는 질문에 '기하학에는 왕도가 없습니다.'라는 대답을 남겼다고 한다. 유클리드 기하학이라는 말이 있을 정도로 그는 기하학의 아버지라고 불릴 만하다. 

유클리드 원론

이 책에는 23개의 정의와 5개의 공리, 5개의 공준을 기본으로 하여 465개의 수학적 명제를 증명하고 있다. 여기서 5번째 공준. 여기에서 문제가 발생한다. 일단 공준이라는 것은 기하학에서 당연한 사실이라서 굳이 증명할 필요도 없이 참이라고 받아들여지는 명제를 말한다. 그렇다면 일단 유클리드 5공준에 대하여 알아보자. 

 

유클리드 5공준

제 1공준: 임의의 점과 다른 한 점을 연결하는 직선은 오직 하나뿐이다.

제 2공준: 임의의 선분은 양끝으로 얼마든지 연장할 수 있다.

제 3공준: 임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원은 그릴 수 있다.

제 4공준: 직각은 모두 서로 같다.

제 5공준: 두 직선이 한 직선과 만날 경우, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 180도 보다 작을 때 이 두 직선을 계속 연장하면 180도보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다.

 

여기에서 1부터 4공준까지는 모두 증명이 되었지만 마지막 제 5공준을 증명하는 것은 도무지 풀리지 않았다. 많은 수학자들이 이것을 증명해 내지 못하였다. 

 

그러면 의문!

그런데 왜 제 5공준 내용이 삼각형의 내각의 합이 180도라는 사실과 동일할까?

5공준을 다른 말로 써보도록 하자. 

어떤 직선 외의 한 점을 통과하여 이 직선에 평행인 직선은 단 하나이다. 삼각형의 내각의 합은 180도이다. 

수학자들의 고민

앞에서 만나보았던 1부터 100까지의 합을 쉽게 계산하였던 가우스. 그가 바로 이 문제에 대하여 심각하게 고민하였다. 이것이 틀리다고 한다면 기하학은 붕괴될 것이 자명하였고, 무엇보다 유클리드가 기하학에서의 권위는 위대한 것이었으므로 이것을 틀렸다고 말하는 것은 쉬운 일이 아니었다. (실제 권위에 도전하게 되면 죽임을 당하는 경우도 있었던 시대였다.)

그러던 중 러시아의 로바쳅스키 수학자와 헝가리의 보여이라는 수학자가 "삼각형의 내각의 합은 180도가 아니다."라고 선언하였다. 

 

삼각형 내각의 합은 180도가 아니다? 비유클리드 기하학의 탄생

그들이 내세운 이론.

"한 직선 ℓ밖에 있는 한 점 P에서 이 직선의 수선인 PH를 내리고, PH와 같은 예각을 이루는 두 직선 PA와 PB를 긋는다. 이 때 각APB의 내부를 지나는 직선은  ℓ과 만나고 그렇지 않은 직선은  ℓ과 만나지 않는다."

 

쉽게 이해되지 않는 말이다. 다른 쉬운 말로 풀이한다면 직선 밖의 한 점을 지나면서 이 직선과 평행한 직선이 무한개가 존재한다는 것이고, 이 때 삼각형의 내각의 합은 180도보타 작아진다는 것이다. (공간 자체가 휘어져 있기 때문에 직선 역시 곡선이 되는 것이다.)

 

이해되지 않는 소리이지만 고정 관념을 살짝 벗어나보자. 유클리드 기하학에서는 평평한 공간만 당연하게 여겼지만 안쪽으로 휘어진 공간이라고 생각한다면 이 공준은 참이된다. (이것을 우리는 쌍곡 기하학이라고 하였다.)

이로 인하여 비유클리드 기하학이 탄생하게 된 것이다. 

 

정말 당연하게 생각하였던 것들이 당연한 것이 아니었고, 내가 알지 못하는 새로운 세계가 있었다. 참이라고 생각했던 5공준을 부정하니 새로운 공준이 탄생하게 된 것이다. 이로 인하여 수학은 더 다양하게 발전하게 된다. 

 

오늘은 비유클리드 기하학에 대하여 간단하게 살펴보았다. 다음 시간에도 또 다른 재미있는 수학이야기로 찾아오고자 한다.