생활 속 수학 예시 - 소수(+메르센 소수)

생활 속에 숨겨진 수학의 다양한 예를 알아보는 시간이다.

이 글에서는 생활 속 수학 소수의 이야기를 해보고자 한다.

소수란 무엇이며 소수의 역사와 실생활에서 사용되는 소수 이야기, 메르센 소수에 대한 정보를 제공하고자 한다.

소수란 무엇인가

소수란 무엇인가에 대하여 알아보려고 한다.

우선 자연수 수체계에서 생각해 보자.

자연수는 크게 세 가지로 분류할 수 있다. 소수, 합성수, 그리고 1이다.
여기서 말하는 소수는 0.1, 0.2 등과 같은 소수를 말하지 않는다.

 

우리가 다룰 소수는 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수인 소수를 말하려고 한다. 즉 약수의 개수가 2개인 수에 대하여 이야기 할 것이다.

정리해보도록 하자.

자연수는 1과 소수(1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수), 합성수(약수가 3개 이상인 수)로 이루어져 있다.

 

소수의 역사

소수는 아주 오래전부터 사람들이 관심을 가져왔다.

가장 먼저 고대 그리스 수학자인 유클리드에 의해 소수가 무수히 많이 있다는 것이 증명되었다.

 

우리가 수학 시간에 배웠던 에라토스테네스 또한 소수를 연구했던 사람이다. 에라토스테네스는 다음과 같은 방법으로 소수를 찾았다.
1) 가장 먼저 1을 지운다.
2) 2를 동그라미 하고 2의 배수를 지운다.
3) 3을 남기고 남은 수들 중에서 3의 배수를 지운다.
4) 4는 지워졌으므로 5를 남기고 남은 수들 중에서 5의 배수를 지운다.

 

이 과정을 반속하게 되면 동그라미 한 수들이 모두 소수가 되는 것이다. 이 방법이 마치 체를 이용하여 콩을 골라내는 것처럼 체를 통하여 소수들이 걸러지는 것과 같고 이것을 발견한 에라토스테네스의 이름을 따서 에라토스테네스의 체라고 불렀다. 에라토스테네스는 기원전 사람인데 이 방법은 몇 천년이 지난 지금까지도 소수를 찾는 좋은 방법이다.

 

또한 18세기 수학자인 오일러도 유클리드와 다른 방식으로 소수가 무수히 많다는 것을 증명하였다. 오일러는 소수를 만드는 공식을 찾기 위해 많은 노력을 했지만, 그의 제자인 르장드르가 소수를 만들어 내는 공식이 없다는 것을 증명하고 그 노력을 멈췄다고 한다. (오일러는 참 다양하게 수학적으로 중요한 역할을 많이 했다. 오일러에 대하여 다룰 기회가 있으리라 생각한다.)

실생활에 사용되고 있는 소수

소수는 소인수분해할 때 가장 많이 사용되고 있다.

소수를 이용하여 소인수분해를 하며 컴퓨터의 패스워드 등 암호로도 많이 사용된다. 왜냐하면 소수는 무수히 많기 때문에 찾아내기가 어려워 암호로 사용하기에 좋다. 소수는 암호학 발전에 크게 기여했다.

그리고 어른들이 많이 마시는 소주도 소수를 이용한 것이다. 소주 한 병은 소주잔에 따르면 7잔이 나온다. 상상해보자. 두 사람이 똑같이 마신다고 하면 한 잔이 남을 것이고, 세 사람이 똑같이 마신다고 하면 한잔이 남고, 네 사람이 똑같이 마신다고 하면 한 잔이 모자라게 된다. 다섯 사람이 마시게 된다면 두 잔이 남는다. 어떤가? 똑같이 한 잔씩 마실 때까지 계속 마실 것 같지 않은가? 소주를 계속해서 마시게 되는 이유가 소수를 이용하여 만든 소주병 속에 비밀이 숨겨져 있었다.

 

메르센 소수

대학 시절 배웠던 소수 중 특이한 소수 메르센 소수를 소개하려고 한다.

프랑스의 수도사였던 메르센이 찾았던 소수인데 그는 큰 소수를 찾는데 관심이 있었다고 한다. 그는 2의 거듭제곱에서 1을 뺀 수와 같은 소수를 찾아내어 이를 메르센 소수라고 불렀다. (대학 다닐 당시 이 사람은 할 일도 없나, 왜 이런 걸 찾았지? 이상하네. 라는 생각을 하기도 했다.)

 

예를 들어 보자. 2의 3제곱에서 1을 빼면 7이다. 7이 소수이므로 메르센 소수라고 할 수 있다. 또 다른 예를 들어보자. 2의 5제곱에서 1을 빼면 31이다. 31 또한 소수이므로 31도 메르센 소수이다. 이후 많은 사람들이 가장 큰 메르센 소수를 찾으려고 노력하였는데 훗날 수백 대의 컴퓨터를 이용하여 980만 8358자리 수인 메르센 소수를 발견했다고 한다. 1000만 자리 이상의 메르센 소수를 발견한 사람에게는 10만 달러 상금이 주어진다고 하니.. 많은 수학자들이 도전하여 상금을 받으면 좋겠다. (그 수학자가 한국 사람이면 더 좋겠다.)

 

지금까지 소수에 대하여 알아보았다. 우리가 알게 모르게 수학적인 원리가 많이 숨어 있는 것들이 많다는 사실이 흥미롭지 않은가?
다음번에 또 다른 재미있는 수학 이야기를 만나보도록 하자.