수학자 이야기8- 적분의 발전 케플러

케플러의 생애

 오늘은 독일의 천문학자로 더 유명한 케플러의 수학에 대한 업적 중심으로 알아보려고 한다. 일단 케플러의 생애부터 알아보자.

그는 독일 바일이라는 곳에서 태어나 신학을 공부하였다. 신학을 공부하던 중 코페르니쿠스의 지동설을 접하였고, 이에 감동을 받아 진로를 변경한다. (지동설이란 태양을 중심으로 지구가 회전한다는 이론이다. 이 당시에는 지구를 중심으로 우주가 회전한다는 천동설이 지배적인 생각이었던 세대였다.) 1593년 대학을 졸업하고 그라츠에 있는 대학에서 수학과 천문학을 가르치게 된다. 몇 년 후 '우주의 신비'라는 책을 내었고 이를 계기로 덴마크 천문학자인 브라헤를 알게 된다. 그 후 그는 1600년 프라하로 옮겼고 브라헤 밑에서 일을 하게 된다. 일 년 뒤 브라헤가 죽은 뒤 왕실 수학자가 된다.

 

그가 죽은 후 16년에 걸쳐 연구했던 화성 관측에 대한 자료를 정리하며 행성은 태양을 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다는 '케플러 법칙'을 포함한 행성 운동에 대한 세 가지 법칙을 발표했다. 이 케플러 법칙은 훗날 뉴턴이 만유인력을 발견하게 된 기반이 되었다. 

케플러 법칙

케플러 법칙은 수학에서는 중요하지 않지만 그래도 한번 정리해보고자 한다. 

1법칙 : 행성은 태양을 초점으로 타원운동을 한다.

2법칙: 타원면에서 동일한 시간동안 행성이 휩쓸고 지나간 면적은 일정하다.

3법칙 : 행성운동 주기의 제곱은 태양에서 행성의 거리의 세제곱에 비례한다.

케플러의 면적 구하는 방법

앞에서 만나보았던 아르키메데스를 기억하는가? 그는 원의 면적을 원에 가까운 도형의 면적을 계산하면서 원의 면적을 추측하였다. 그런데 이는 정확한 값이 아니라 근삿값이라는 한계를 지닌다고 얘기했었다. 그러나 케플러는 이 아르키메데스 방법보다 더 정교한 방법으로 넓이를 구한다. 부채꼴의 모양에 가까운 삼각형을 무한개로 분할하는 삼각형을 가정하여 넓이를 생각한다. 이는 아르키메데스의 방법보다 더 정교한 방법이라 할 수 있고, 미적분 역사의 디딤돌이라 할 수 있다. 

포도주 통과 적분

실생활에서의 궁금증은 놀라운 수학적 발견으로 이어지기도 한다. 케플러 또한 그러했다. 포도주통을 생각해보자. 일반적인 포도주통은 원기둥 모양이 아니라 가운데가 불룩 튀어나와 있는 원통 모양이다. 케플러는 이 포도주통을 보면서 포도주통에 와인이 얼마만큼 들어가는지 그 정확한 부피를 구하고 싶었다고 한다. 바로 이 생각을 해결하는 과정에서 미적분의 기초가 되었다고 볼 수 있다. 

케플러의 생각은 이러하다. 포도주통이 무한개의 얇은 막대로 이루어져 있다고 생각하고 그것의 부피를 합한다고 생각하면 부피를 구할 수 있다고 생각했다. 역시 여기에서 무한이라는 개념이 필요했다. 무한이라는 것은 끝었이 계속 이어진다는 개념이다. 케플러가 이런 생각을 했었기에 앞에 이야기했듯 부채꼴 모양의 면적까지 구할 수 있었을 것이다. 

적분의 발전에 기여한 케플러

우선 미분과 적분의 개념에 대하여 잠시 정리해보고자 한다. 고등학교 때 배운 내용이 기억이 난다면 미분의 역과정이 적분이고, 적분의 역과정이 미분이라는 것을 알 수 있을 것이다. 즉 미분과 적분은 역연산 관계이다. 

 

미분이라는 것은 접선의 기울기를 구하는 것이고, 적분은 면적을 구하는 것이라고 간단하게 생각할 수 있다. 물론 물리학에서의 시각은 조금 다르다. 미분은 물체의 속도를 구하는 것이고, 적분은 물체의 위치를 구하는 것이다. 다른 말로 이야기한다면 접선의 기울기를 구하는 것과 면적을 구하는 방법이 서로 연관이 되어 있고, 물체의 속도를 구하는 것과 물체의 위치를 구하는 것이 연관되어 있다는 말이다.

 

지금 우리는 이 관계를 고등학교에서 배웠기에 이해하지만 케플러가 이를 안 것은 아니다. 그 또한 이 사실을 알지 못했다. 훗날 미적분이 역연산 관계라는 것은 이탈리아 수학자인 토리첼리가 알아내었다. 

 

우리는 지금까지 물리학에서 더 유명한 케플러의 수학에서의 업적을 정리해 보았다. 수학에서 빼 놓을 수 없는 미분과 적분. 그중에서도 적분에 더 많은 영향을 주었던 케플러를 알아보았다. 다음 시간에도 또 다른 수학 이야기로 찾아오고자 한다.