수학자 이야기10-새로운 기하학의 탄생 수학자 리만

베른하르트 리만

오늘은 또 다른 수학자인 리만을 만나보고자 한다. 리만 곡면, 리만 합, 리만 적분, 코시-리만 방정식, 리만 가설 등 다양한 수학 용어에 그의 이름이 등장하고 있다. 그의 탄생부터 그의 업적까지 만나보는 시간을 갖도록 하자.

그는 1826년 독일 브레제렌츠라는 곳에서 루터교 목사의 아들로 태어났다. 그도 목사가 되기 위하여 괴팅겐대학에 입학하였지만 어릴 때부터 수학에 재능을 보였던 그는 수학에 더 흥미를 느낀다. 그의 스승이었던 가우스 또한 신학 연구를 그만두고 수학을 하기를 권고했고, 아버지의 허락을 받고 베를린대학으로 옮겨 수학 공부를 시작한다. 1854년 모교인 괴팅겐 대학에서 기하학의 기초를 논하면서 리만 기하학을 제시하였다. 아쉽게도 그는 겨우 마흔 살이라는 나이에 이탈리아 여행 도중 폐결핵이 걸려 사망했다고 한다. 그의 죽음 이후 가정부가 집을 정리하면서 미완성 논문들을 태워버렸다고 하니 많이 안타까운 일이다. 

리만 기하학

유클리드 기하학이 아닌 또 다른 비유클리드 기하학. 쌍곡기하학 이외에 다른 하나가 '구면 기하학'이다. 이는 리만의 새로운 기하학 가설이다. 유클리드의 제 5공준 대신 다른 공준이 탄생하게 된 것이다.

1. 두 점을 연결하는 직선이 하나뿐이라고 단정 지을 수 없다.

2. 평행선은 존재하지 않는다.

우리가 알고 있는 상식과는 다른 개념이지 않는가? 왜냐하면 우리의 사고는 평평한 공간 즉 유클리드 공간에서 상상하기 때문이다. 조금 다른 공간을 상상해보자. 이 공간은 '구'처럼 볼록하게 튀어나온 공간을 말한다. 

이 공간에서는 삼각형의 내각의 합은 180도보다 크다. 또한 세 각이 모두 90도가 되는 것도 가능하다. 두 직선은 반드시 만나기 때문에 어떤 직선에 평행한 직선은 한 개도 존재하지 않고, 두 점을 지나는 직선 또한 무한개로 많이 있다. (상상해보자. 지구본에서 남극점과 북극점을 이으면 이 두 점을 지나는 직선은 무수히 많음을 알 수 있다.) 또한 면이 휘어져 있으므로 직선 역시 곡선이 된다. 

훗날 아인슈타인의 상대성이론 또한 이 비유클리드 기하학을 기초로 생각하였기 때문에 중력에 의해 휘어져 있는 우주를 표현할 수 있었다.

앞서 우리는 다른 글에서 '삼각형의 내각의 합은 180도일까?'라는 생각을 하면서 또 다른 비유클리드 기하학인 쌍곡 기하학을 소개한 적이 있다. 쌍곡 기하학이 궁금하면 아래의 링크 글을 참고하면 좋을 것 같다.

 

"삼각형의 내각의 합은 180도일까?' 비유클리드 기하학(쌍곡 기하학의 탄생)

 

리만 가설

리만 가설은 다음과 같다.

"2,3,5,7과 같은 소수(약수가 1과 자기 자신 뿐인 수)들이 어떤 패턴을 지니고 있을까"라는 질문.

이 가설은 리만 제타 함수로 불리우는 복소함수의 특별한 성질에 관한 것으로 수학에서 악명 높은 난제이다. 지금까지 이 가설이 증명이 되지 않고 있다. 리만이 이 가설을 증명하지 않은 이유는 그가 쓴 논문 내용에서 별로 중요한 내용이 아니었기 때문에 증명하지 않았다고 했다. 이렇게 중요하지도 않다고 얘기한 이 가설로 인하여 몇 백 년 동안 많은 수학자들이 고생을 했던 것이다. 수학 분야에서 미해결 문제 7개 중 하나이다. 2000년 클레이 수학연구소(CMI)에서는 수학분야에서 미해결 된 문제 7개를 해결하면 각각 문제마다 100만 달러씩 상금을 걸었다고 한다. 그래서 이 리만 가설 문제 또한 100만 달라가 걸려있다고 한다. 

(그러나 얼마전 기사에 따르면 전북대 수학 통계정보과학부 명예교수인 김양곤 교수님께서 이 문제를 해결하였다고 한다. 김 명예교수님 관련한 논문이 스코푸스 등재 기관인 국제 수학 학술지에 게재되었다고 한다. 논문집 명칭은 '해석학 및 그 응용 저널' 제19권 19호이며 리만 가설은 옳다는 내용이 수록되었다고 한다. 한국의 수학자가 이 난제를 해결하였다니.. 너무 자랑스럽게 생각한다!!)

 

오늘은 수학에 많이 등장하는 수학자 이름인 '리만'에 대하여 알아보았다. 알면 알수록 신기하고 재미있는 이야기들이 많이 숨겨져 있는 것 같다. 다음 시간에도 또 다른 수학 이야기로 찾아오고자 한다.