생활 속 수학이야기17-루트2의 실생활 활용

생활 속 수학 이야기. 오늘은 루트2가 실생활에 어떻게 활용되고 있는지에 대한 글입니다. 무리수와 루트2에 대한 이야기로 시작하여 다양한 곳에서 사용되고 있는 루트2에 대하여 소개하고자 합니다.

무리수와 루트2

우리가 중학교 3학년이 되면 새로운 수체계를 배우게 됩니다.

무리수라는 것을 배우며 순환하지 않는 무한소수를 무리수라고 새롭게 정의하지요.

또는 무리수를 유리수가 아닌 수라고 정의해요. 

 

피타고라스는 피타고라스 정리라는 이름으로

"직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이 제곱의 합과 같다."

라는 사실을 발표하게 됩니다.

 

그렇다면 직각을 끼고 있는 삼각형의 변의 길이를 각각 1로 한다면

빗변의 길이는 √2가 되는데 오늘은 이 √2에 대한 이야기를 해보려고 해요.

그러면 √2에 대하여 얽혀있는 이야기와 실생활 예를 한번 알아보도록 해요.

피타고라스 학파에 얽힌 루트2 이야기

피타고라스 학파라는 것은 피타고라스와 그의 제자들이 연구했던 학교예요.

이 학교에서는 이 무리수√2에 대한 존재를 발견하고 이것을 비밀로 했다고 해요.

왜냐하면 √2를 받아들인다는 것은 그 당시의 수체계를 흔드는 큰 일이었기 때문이죠.

 

그 당시 피타고라스는 모든 수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있다고 하였기에 이렇게 신기한 수를 누설한 히파수스를 바다에 던져버렸다는 이야기도 있어요.

권위에 도전한다는 것이 금기시되었던 것이죠.

하지만 이것을 인정하지 않고는 설명되지 않는 부분이 너무 많았어요.

왜냐하면 유리수라는 것은 정수의 비로 나타낼 수 있는 수였는데, 이 정수의 비로 나타낼 수 없는 수가 있었던 거지요.

 

그럼에도 불구하고 그 당시 새로운 수체계를 인정한다는 것은 어려운 일이었던 것 같아요.

기존 체계를 흔드는 새로운 체계를 받아들인다는 것은 어려운 일인 것 같아요. 예나 지금이나 그런 것 같죠?

루트2 실생활-보도블록의 대각선

인도를 걷다 보면 바닥 보도블록이 정사각형 모양인 것을 볼 수 있어요.

이 정사각형의 대각선이 그어져 있는데 이 대각선의 길이가 바로 무한소수이지요.

한 변의 길이를 1로 한다면 그 대각선은 √2=1.4142135... 가 되는 거예요.

이렇게 여러 정사각형이 붙어 있으면 기하학적인 아름다움까지 주기도 하지요. 수학은 미적 아름다움을 느끼게 해주기도 합니다.

루트2 실생활-카메라의 렌즈

카메라에서도 이 √2를 찾을 수 있어요. 

지금은 디지털카메라가 보급되어 있지만(물론 이것도 휴대폰 카메라가 발전하면서 많이 사라졌지만) 전문적으로 사진을 찍는 사진작가들의 카메라는 수동인 경우가 많아요.

왜냐하면 전문적으로 목적을 가지고 찍으면서 빛을 많이 노출시키기도 하고, 반대로 빛을 차단하여 다양한 사진을 찍기 때문이죠.

 

이렇게 빛이 조절되는 부분을 우리는 조리개라고 불러요. 

이 조리개는 우리 눈의 홍채처럼 빛의 양에 따라 넓히고 좁히고 할 수 있는 것이지요.

 

카메라 렌즈에는 F1.4, F2, F2.8, F4, F5.6 등과 같은 숫자가 표시된 것을 볼 수가 있는데요. 

이것은 바로 √2의 근삿값인 1.4에 차례로 √2를 곱해준 값이에요.

조리개를 이렇게 만든 이유는 조리개는 수가 커비만 좁아지고, 작아지면 반대로 커지게 되는데 F 수를 한 단계 늘리면 조리개가 렌즈를 적당히 가려 빛이 들어오는 부분의 넓이를 반으로 만들죠.

원의 넓이는 πr^2인데 넓이의 배가 되기 위해서는 반지름은 √2가 되어야 하는 거지요.

 

복사용지와 루트 2

우리가 사용하는 복사용지에도 √2가 숨어있어요.

A4용지를 반으로 접으면 A5용지가 되고, A4용지를 이어 붙이면 A3용지가 되지요.

이때 반으로 접어 처음과 같은 모양이 되게 하려면 가로와 세로의 비가 1:√2가 돼야 해요.

루트2 실생활-피아노

피아노에서도 √2가 존재해요. 피타고라스는 서양의 7 음계를 만들었는데 이 7 음계는 계속 수정되어 왔어요.

우리가 알고 있는 7 음계인 도레미파솔파시를 제외하고 도#, 레#, 파#, 솔#, 라#을 추가하여 12 음계를 구성하고 있지요.

 

이때 낮은 도의 진동수의 2배가 높은 도의 진동수라고 하는데 이를 토대로 진동수를 비교한다면 파#의 진동수가 낮은 도의 진동수의 √2가 된다고 해요. 또한 파#의 진동수에 다시 √2를 곱하면 높은 도의 진동수가 나오지요.

그래서 낮은 도의 진동 수는 높은 도의 진동수의 √2 ×√2=2배가 되는 거예요.

 

오늘은 우리 생활에 숨어있는 √2를 찾아보고 그 이야기를 해보았어요. 

다음 시간에도 또 다른 이야기로 만나도록 해요.