공배수와 최소공배수 구하는법은?(+최소공배수의 활용)

공배수와 최소공배수 뜻을 정확하게 알아두는 것이 문제 이해에 도움이 됩니다. 이 글에서는 두 자연수 이상의 공배수와 최소공배수 구하는법에 대하여 알아보고 어떤 문제가 최소공배수의 활용 문제인지 파악하는 방법에 대하여 알 수 있습니다.

 

공배수와 최소공배수 뜻은?

• 공배수란 두 개 이상의 자연수의 공통된 배수를 의미합니다.
• 최소공배수 뜻은 공배수 중에서 가장 작은 수를 말합니다.

예를 들어볼까요?

4의 배수는 4,8,12,16,20,24..이고

6의 배수는 6,12,24,30..입니다.

따라서 4와 6의 공배수(공통된 배수)는 12,24,36...이고 이 공배수들 중 가장 작은 것이 최소공배수 12입니다.

 

여기서 중요한 성질!!

공배수 12,24,36,... 은 최소공배수인 12의 배수입니다.

즉, 공배수는  최소공배수의 배수들을 말합니다.

 

문제 팁!!

공배수 문제가 나오면 최소공배수를 먼저 구하고, 최소공배수의 배수를 구하면 됩니다.

 

왜 최대공배수라는 말은 없을까요?

 

왜냐하면 배수라는 것은 무한으로 계속됩니다. 따라서 가장 큰 공배수는 구할 수가 없습니다.

 

★여기에서 우리는 공약수는 유한개이지만 공배수는 무한임을 알 수 있습니다.

서로소인 두 자연수의 최소공배수 구하기

서로소인 두 수의 최소공배수는 두 수를 곱한 것과 같습니다.

 

예를 들어보겠습니다. 3과 5는 서로소입니다.

이때 최소공배수는 두 수를 곱한 3 ×5=15입니다.

 

최소공배수 구하는법

최소공배수 구하는법은 두 가지가 있습니다.

최대공약수 구하는법과 동일하게 소인수분해하는 경우와 나눗셈을 이용하는 경우로 나뉩니다.

방법 1 : 소인수분해하여 최소공배수 구하기

1. 주어진 수를 각각 소인수분해합니다.
2. 소인수의 지수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 지수를 큰 것을 선택합니다.
3. 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱합니다.

예를 들어볼까요?

배수이므로 지수는 작은 것이 아니라 큰 것을 선택하고, 세 수가 모두 가지고 있는 수가 아니어도(공통이 아니어도) 선택하여 곱합니다.

방법 2 : 나눗셈 이용하여 최소공배수 구하기

1.  1이 아닌 공약수로 계속 나눈다. 이때 세 공약수가 없으면 두 수의 공약수로 계속 나누고, 공약수가 없는 수는 그대로 아래로 내립니다.
2. 나눈 공약수의 마지막 몫을 모두 곱합니다.

예를 들어볼까요?

이 두 방법 중 어떤 방법으로 최소공배수 구하는 것이 좋을까요?

 

문제가 소인수분해 꼴로 주어진다면 방법 1로, 그냥 자연수로 주어진다면 방법 2로 구하는 것이 편리합니다. (굳이 자연수를 소인수분해 꼴로 변경하거나, 소인수분해 꼴을 다 곱해서 자연수로 만들거나 할 필요는 없다는 얘기입니다.)

최소공배수의 활용 문제 푸는 방법

어떤 유형의 문제가 최소공배수의 활용을 묻는 문제인지 팁을 드리겠습니다.

 

• 두 사람(또는 이동수단)이 동시에 출발한 뒤, 처음으로 다시 만나는(출발하는) 시각을 구하는 문제
• 직육면체(또는 직사각형)를 빈틈없이 쌓아서 가능한 한 가장 작은 정육면체(또는 정사각형)를 만드는 문제
• 세 자연수 a, b, c를 어느 것으로 나누어도 나머지가 같은 가장 작은 자연수를 구하는 문제

 

최소를 의미하는 '다음으로, 처음으로 다시, 되도록 작은, 가능한 한 작은, 가장 작은 수'라는 말과 공배수를 의미하는 '동시에 출발한다, 정육면체를 만든다. ~ 중 어느 것으로 나누어도 ~이 남는다.'와 같은 말이 함께 나와 있을 때 최소공배수의 활용 문제라고 할 수 있습니다.

 

최대공약수에 대한 내용도 알고 싶다면 아래 글을 참고해 주세요.

서로소 뜻/ 최대공약수 구하는법과 최대공약수의 활용 푸는 방법은?