재미있는 수학이야기2-생활 속의 확률

확률 이야기

오늘은 생활 속에 숨겨져 있는 다양한 확률 이야기에 대하여 해보려고 한다. 우리가 복권을 사면 1등으로 당첨될 확률은 얼마나 될까? 윷놀이 속에 숨겨져 있는 확률은 무엇일까? 한 반에 생일이 같은 친구가 있을 확률은 어떻게 될까? 오늘은 이 세 가지 이야기를 해보고자 한다. 

복권 당첨 확률은?

로또 복권은 1부터 45까지 숫자 중에 여섯 개의 숫자를 선택한다. 통안에 1부터 45까지의 숫자가 적힌 공을 넣고, 이 공들 중 무작위로 공 6개를 선택한다. 1등이 되기 위해서는 이 6개의 숫자를 모두 맞춰야 한다. 1등이 되는 확률을 계산해보면 15개의 공 중에서 순서 상관없이 6개를 선택하는 경우이므로 45_C_6 이다. 즉 8145060이라는 숫자가 나오고 확률은 1/8145060이 되는 것이다.

이 확률은 약 16만 년 동안 로또를 계속해야 1등이 될 수 있는 확률이니 엄청 낮은 확률이라고 할 수 있겠다. 2등이 될 확률은 보너스 숫자와 숫자 5개를 맞추는 것이어서 1/1357510, 3등이 될 확률은 5개의 숫자를 맞춘 1/35724 로 등수가 내려갈 수록 확률은 점점 높아지는 것을 볼 수 있다. 

윷놀이 속의 확률

설날이나 추석날 친척들이 모두 모이면 윷놀이를 하고는 했다. 아이들과도 함께 할 수 있고 쉽고 재미있는 놀이여서 온가족이 다함께 놀기 좋은 놀이다. 윷놀이 유래는 여러가지 설이 있는데 그 중 하나가 삼국시대 이전 부여 시대에서 왔다는 것이다. 부여라는 씨족은 마가, 우가, 저가, 구가 등 다섯 종류의 가축을 상징하고 다섯 부락으로 나뉘어 있다. 여기서 마가는 말, 우가는 소, 저가는 돼지, 구가는 개를 상징한다. 이 가축들을 번식시키는 것을 상징하여 만들어진 놀이가 윷놀이라는 것이다.

 

실제로 도는 돼지, 개는 개, 걸은 양, 윷은 소, 모는 말에 해당되는데 각각이 나왔을 때 움직이는 칸수가 동물의 크기와 속도에 비례한다. 즉 돼지는 가장 느리고 말이 가장 빠르므로 돼지인 도는 한 칸, 말인 모는 다섯 칸을 움직인다. 

각각이 나올 확률은 어떻게 될까? 윷가락 4개를 던졌을 때 나오는 경우의 수를 생각해보면 앞 뒤 2가지가 4번 나오는 것이므로 2의 4제곱인 16이다. 

도가 나올 경우의 수는 윷가락 네개 중에 한 개만 뒤집히면 되므로 4_C_1=4가지 경우. 즉 확률은 4/16=1/4이다.

개가 나올 경우의 수는 윷가락 네개 중 두 개를 선택하는 것이므로 4_C_2=6이다. 즉 확률은 6/16=3/8이다. 

걸인 경우는 윷 네 개 중에 세개를 선택하므로 4_C_3=4_C_1=4 이다. 즉 확률은 4/16=1/4 이다.

윷과 모는 모두 평평한 부분이 위로 향하거나 모두 아래로 향하는 경우이므로 1가지. 즉 이 두가지 확률은 모두 1/16이다. 

생일이 같을 확률

한 교실에 25명의 학생이 있다고 생각해보자. 이들 중에서 생일이 같은 사람이 있을 확률을 생각해 보았는가? 생일이 같을 사람이 있을 확률은 57%나 있다고 한다. 생각보다 높은 확률이지 않는가? 한번 생각해보자. 이것을 계산하는 것은 살짝 복잡하다. 왜냐하면 25명 중에 두 명의 생일이 같아도 되고 세 명의 생일이 같아도 되고 생일이 같은 쌍들이 여럿이 나와도 되고... 나올 수 있는 경우의 수가 상당히 많다. 이럴 때는 반대의 경우를 생각하는 것이 편하다.(여사건을 이용하는 것이다.) 즉 25명의 생일이 모두 다를 경우를 생각하여 전체 확률 1에서 빼주는 것이다. 

첫번째 사람은 어떻든 상관없으니 두 번째 사람이 첫 번째 사람과 생일이 다를 확률을 생각하면 364/365이다. 세 번째 사람이 첫째 두번째 사람과 생일이 다를 확률은 363/365이다. 이런식으로 계산하면 364/365×363/365×...×341/365를 계산한다면 약 0.43이 나온다. 따라서 전체확률 1에서 0.43을 뺀다면 약 0.57이 나오는 것이다. 

어떤가? 실제 생각보다 높지 않은가? 이것은 생일이 같게 되는 경우의 수가 많기 때문이다. 25명 중에 두 명을 선택하거나 세 명 또는 네 명을 선택하는 경우 등 경우의 수는 아주 많아지므로 실제 확률이 우리가 생각하는 것보다 훨씬 높게 나오는 것이다. 

 

또 다른 실생활 수확 예시 글은 아래 글도 참고하시길 바란다.

 

생활 속 수학이야기17-루트2의 실생활 활용

 

오늘은 우리가 실제 생활에서 접하고 있지만 잘 인지하지 못하고 있던 확률에 대하여 몇 가지를 이야기 해보았다. 다음 시간에 또 다른 수학 이야기를 만나보도록 하자.