등차수열 합공식과 수학자 가우스의 생애 정리

중학교 수학 시간에 선생님께서 가우스 이야기를 해주신 적이 있다.

초등학생 때 1부터 100까지의 합을 쉽고 빠르게 계산했었노라고.. 그 이야기는 신선했었다. 훗날 이 방식이 등차수열 합공식에 나온다는 걸 깨닫게 되었다.

오늘은 등차수열 합공식이 무엇인지 알아보고 수학자 가우스의 생애를 정리 해보려고 한다.

등차수열 합공식을 생각한 가우스의 계산법

위에 잠시 언급했던 가우스가 1부터 100까지 합을 계산한 방법에 대하여 조금 자세히 알아보려고 한다.

가우스의 생각은 1부터 100까지를 계단 모양으로 생각했다.

1을 벽돌 하나라고 생각한다면 100은 벽돌 100개가 깔려있다고 생각한다면 1+2+3+...+100은 마치 계단 모양의 그림으로 생각할 수 있다.

 

이 그림을 뒤집어서 위에 거꾸로 덮어버리면 가로의 길이가 101이고 세로의 길이가 100인 직사각형이 된다.

그러므로 여기에 나누기 2를 하면 1부터 100까지의 합이 나올 수 있을 것이다.

잘 이해가 되지 않는가? 그럼 다음 그림을 보면서 이해해 보기로 한다.

이해가 되었다면 우리가 고등학교에서 배우는 등차수열 합공식을 여기에서 유추해볼 수 있겠다.
첫항+....+마지막항=1/2×항수×(첫항+마지막항)

고등학교에서는 1/2×n×(a+ℓ) 이라는 등차수열 합공식으로 배운다.

수학자 가우스 일화

가우스는 독일에서 태어난 수학자이다.

가우스가 초등학생인 시절, 가우스의 선생님께서 학생들에게 "1부터 100까지 자연수의 합이 얼마일까?"라는 질문을 하셨다. 아이들은 각자 자신의 방법대로 열심히 계산을 하느라 교실은 조용해졌다. 많은 아이들은 1부터 순서대로 모든 수를 더하고 있었다.

그러나 가우스는 거의 즉시 답을 제출하였다. 선생님은 그렇게 빨리 계산한 가우스에게 놀랐다. 그 방법이 너무 기발했었기 때문이다.

가우스가 발견한 방법은 간단하다.

1,2,3,4... 모두 1씩 커지는 숫자이다. 처음수와 마지막수를 짝을 지어주면 그 합은 101로 동일하다. 그렇게 50묶음의 짝이 발생한다. 그러므로

1+2+3+4+...+98+99+100=(1+100)+(2+99)+...+(50+51)=101 × 50=5050

정말 기발한 방법이라고 생각한다.

 

우리가 지금 고등학생이 되면 배우는 등차수열 합공식을 가우스는 초등학생 때 계산을 한 것이다. 이 일로 가우스의 선생님께서는 가우스에게 가르칠 것이 없다는 말을 했다고 한다.

가우스의 생애

가우스는 1777년 독일에서 태어났다. 가우스는 키메데스, 뉴턴과 함께 19세기 가장 위대한 수학자로 꼽힌다.

그는 아주 가난한 집안에서 태어났다. 어렸을 때부터 뛰어난 재능을 보이며 아버지가 계산한 것까지 알려줄 만큼 천재적인 재능을 지니고 있었다.

'말을 하기 전에 수 세는 법을 먼저 배웠다'라는 말을 스스로 할 만큼 계산에 뛰어났다.

 

가우스는 15살 때 소수의 빈도수는 평균적으로 로그 함수에 반비례한다는 '소수 정리'라고 불리는 정리를 추론했다.

 

가우스는 18세에 고대어를 전공할 것인지 수학을 전공할 것인지를 고민했다고 한다.

그러다가 그는 과거 2000년 간 풀지 못했던 수학적 난제인 '정17각형을 작도하는 방법'에 대하여 고민하게 되었고, 이 문제를 해결한 가우스는 언어학자가 아닌 수학자가 되었다.

 

수학자가 된 이후 가우스는 정수론, 대수학, 복소수 등 수학뿐만 아니라 천문학 연구도 하였다.

소행성이 존재한다는 것을 알아내었고, 30세가 되었을 때는 괴팅켄 대학의 천문대장이 되어 평생 천문대장으로 일하였다고 하니 천문학에도 가우스가 기여한 바는 크다고 할 수 있다.

 

가우스가 수학교사나 교수가 아닌 천문대장으로 평생 일하였다는 것은 신기한 일이다.

그는 돈에는 관심이 없었고, 수학이 주는 즐거움과 만족이 좋아서 수학에 몰두했음을 알 수 있다.

 

그리고 성격이 완벽함을 추구하는 성격이라서 스스로 확실하다고 생각하지 않는 연구 결과는 발표하지 않고 기다렸다고 한다.

그리고 자신의 연구 결과에 누가 뭐라 하는 것을 싫어하여 혼자 연구에 몰두하는 경우가 많았다고 한다.

이런 가우스는 79세의 나이로 세상을 마감하고 만다.

 

또 다른 수학자들이 궁금하다면 아래글을 참고하길 바란다.

피타고라스의 정리- 수학자 피타고라스 일생