수학자 이야기3-파스칼

철학자이자 수학자였던 파스칼

수학자이면서 물리학자이기도 하고 철학자이기도 한 사람들이 참 많다. 파스칼 또한 그 중 한 사람이다. 오늘은 파스칼의 생애와 그가 남긴 수학적 업적에 대하여 알아보고자 한다.

파스칼은 1623년 프랑스의 한 지방에서 태어났다. 파스칼의 어머니는 파스칼이 3살이었을 때 세상을 떠났고, 파스칼 아버지는 재판소장이었다고 한다. 파스칼은 어릴 때부터 몸이 허약했으며, 8살이 되던 해 파리로 이사했다. 파스칼의 아버지는 파스칼에게 교육을 시켰지만 건강에 좋지 않을까봐 수학은 시키지 않았다고 한다. 그러나 예로부터 하지 말라는 것은 더 하고 싶듯이 파스칼 또한 이로 인해 수학에 더 호기심을 느끼게 되었다고 한다.

파스칼이 12살 때에 유클리드 제 32명제인 '삼각형의 외각의 크기는 다른 두 내각을 더한 것과 같다'는 내용인 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것을 종이 삼각형을 접어서 스스로 발견했다. (이 방법은 지금도 초등학생에게 삼각형의 내각의 합을 알려줄 때 사용하는 방법이다.) 이 때 파스칼의 재능을 알게된 아버지는 파스칼에게 유클리드 기하학원론이라는 책을 사주었고, 파스칼은 기하학에 빠지게 된다.

13살에는 파스칼 삼각형이라는 수의 피라미드를 발견한다. 14살에는 메르센 소수로 유명한 수도사이면서 수학자였던 메르센이 만든 메르센 아카데미에 참석하기도 한다. 16살이라는 나이에는 원뿔 곡선에 내접하는 육각형과의 관계를 파스칼 정리라는 이름으로 증명하게 된다. 17살에는 이 원뿔 곡선에 관한 논문을 이용하여 '원추곡선론'을 발표하며 다양한 명제를 만들어 낸다. 18,19살에는 최초의 계산기를 발명하였다. 10대에 이룬 성과가 정말 놀라울 지경이다. 하지만 파스칼은 이렇게 천재였으나 그의 몸은 많이 약했기에 파스칼의 삶은 많이 아프고 고통스러웠다고 한다. 그래서 그는 종교에 빠져 신학자가 되기도 한다. 이 때 '진공'에 관한 실험을 하였는데 이 때 데카르트와 노엘 신부 등과 종교적인 논쟁을 벌인다. 그는 건강의 악화로 39세의 젊은 나이에 죽고 만다. 그가 더 오래 살았었다면 더 많은 성과들이 있지 않았을까 생각해본다.

 

파스칼 삼각형

파스칼 삼각형은 파스칼의 이름이 붙어 있기는 하지만 파스칼 이전에 중국, 아랍 등에서 이미 발견된 것이다. 그럼에도 파스칼의 이름이 붙여져 불리는 이유는 파스칼이 이 삼각형의 규칙과 성질을 많이 발견하였기 때문이다. 파스칼 삼각형에는 규칙이 숨어 있다. 우선 파스칼 삼각형이 어떤 것인지부터 알아보도록 하자.

맨 위를 0행이라고 하고 여기에는 1을 적는다. 그리고 행의 처음과 마지막은 1을 쓴다. 그리고 왼쪽과 오른쪽 수를 합하면 그 다음 열의 가운데 수가 되는 규칙을 이용한다. 이것을 계속해서 아래로 만들어 나갈 수가 있다. 파스칼 삼각형의 가로 열끼리 합하여도 규칙이 있고, 파스칼 삼각형의 대각선으로도 규칙을 발견할 수 있다.

 

0행의 합은 1. 1행의 합은 2. 2행의 합은 4. 3행의 합은 8. 4행의 합은 16..... 으로 그 합이 2의 n-1 거듭제곱 꼴로 나타낼 수 있다.

확률에 대한 연구

파스칼은 확률에 대한 연구에도 상당한 업적을 나타냈다.
유명한 일화 하나 이야기하고자 한다.

어느 날 한 도박꾼이 파스칼에게 두 가지 도박 문제를 해결해 달라고 편지를 보냈다고 한다. 파스칼은 이 문제를 받고 상당히 오랜 시간 고민했고, 페르마라는 수학자와 편지를 교류하면서 이 문제에 대하여 함께 풀었다고 한다. 페르마가 이 문제를 해결하고 파스칼에게 편지를 보냈지만 파스칼은 페르마의 풀이방법이 너무 어려웠다고 한다. 그래서 그는 '수형도'라는 것을 만들어서 문제를 쉽게 해결하였다. 이 수형도는 지금도 수학시간에 경우의 수를 구할 때 많이 사용하고 있다.

혹시 도박꾼이 보낸 문제가 궁금한가? 그 문제는 다음과 같다.
"두 사람이 내기를 하였는데 5번 먼저 이기는 사람이 돈을 전부 갖기로 하였다. 매회 두 사람이 이길 확률은 각각 반반으로 동일하다. A라는 사람이 4:3으로 유리한 상황에서 게임이 중단되었을 때 내기 돈은 어떻게 나누는 것이 공정할까?"

풀이에 도전해보길 바란다. 답 먼저 얘기한다. 이 문제의 정답은 3:1이다.

오늘은 몸이 약했지만 수학적인 재능이 뛰어났던 파스칼에 대하여 알아보았다.
다음 시간에는 또 다른 수학자와 함께 수학여행을 떠나보도록 하자.