수학자 이야기 11- 무한에 대한 새로운 개념 칸토어

칸토어의 생애

오늘은 데데킨트와 함께 집합론을 창시하고, 무한의 개념을 생각했던 독일 수학자 칸토어를 만나보고자 한다. 그의 생애와 그가 남긴 수학적 업적에 대하여 이야기해보도록 하자.

그는 1845년 소련 레닌그라드라는 곳에서 태어났다. 그의 아버지는 부유한 상인이었고 어머니는 예술적 소양이 많은 사람이었다. 소련에서 태어났지만 아버지를 따라 1856년 독일 프랑크푸르트로 이사한 후 계속 그곳에서 살았기 때문에 많은 사람들이 칸토어를 독일의 수학자라고 부른다. 칸토어는 중고등학교 시절에도 수학을 잘하였지만 그의 아버지는 다른 직업을 갖기를 고집하였고, 성격이 소심했던 칸토어는 아버지의 뜻을 따르려고 한다. 그러다가 그의 아버지는 17살이 되어서야 비로소 대학에서 수학을 전공하도록 허락하게 된다. 칸토어는 베를린 대학에서 공부하였는데 그 대학에는 유명한 수학자들이 많았다. 그는 1869년 할레 대학에 부임하였고 1905년까지 그 대학에서 교수로 일을 한다. 29세에는 집합론에 대한 논문을 발표하였고 그 해 결혼한다. 자녀를 6명을 낳았지만 수학을 잘하는 자녀는 없었다고 한다. 칸토어는 베를린 대학의 교수가 되기를 바랐지만 크로네커라는 수학자의 반대로 베를린 대학의 교수가 될 수 없었다. 무한 집합에 대한 칸토어의 연구에 대해서도 크로네커는 강하게 비판하였고, 소심하고 과민한 성격의 칸토어는 정신병에 걸리기까지 한다. 또한 자신의 연구가 잘못되었다는 생각에 이르게 된다. 말년에는 1차 세계대전이 일어나 가난으로 굶주리게 되고 결국 1918년 할레의 정신병원에서 정신병으로 죽게 된다.

칸토어의 집합론

이전까지 많은 수학자들이 무한을 센다는 것을 두려워하여 '무수히 많다.'라고 하는 것으로 끝이 났다. 19세기의 수학자인 가우스 또한 무한을 계산한다는 것을 반대하였고, 무한이라는 것은 말하는 방법에 불과하다고 하였다. 그런데 칸토어가 무한을 세기도 하고 큰 무한과 작은 무한을 계산하였다. 그가 사용한 방법은 '일대일 대응'이라는 방법이다. 

예를 들어보자. 자연수 집합과 짝수 집합 두 가지를 생각해보자. 상식적으로는 짝수 집합 안에 자연수 집합이 존재하고 짝수 집합의 2배가 자연수 집합이 될 것 같다. 그러나 칸토어의 생각은 그렇지 않았다. 자연수 1,2,3,..., n, n+1... 을 짝수 2,4,6,... ,2n, 2n+2 이렇게 일대응대응 시킨다면 이 두 집합의 원소 개수는 같아지는 것이다. 

이렇게 된다면 우리의 상식선에 있는 서로 다르게 보이는 두 집합 자연수와 짝수가 모두 같은 무한이 되어버린다. 즉 무한에서는 부분이 전체와 같을 수 있다는 주장인 것이다.

칸토어는 여기에서 더 나아가 이것보다 더 큰 무한도 찾아낸다. 

 

집합론을 반대한 수학자들

이러한 칸토어의 생각은 상식을 파괴하는 것이었기 때문에 많은 수학자들이 칸토어의 주장을 공격하였다. 성격이 소심하고 예민했던 칸토어가 정신병에 걸릴만했을 것이다. 그중 집합론을 강하게 비판했던 수학자 중 크로네커라는 수학자를 빼놓을 수가 없는데 그는 칸토어 때문에 수학계가 이상한 방향으로 가고 있다고 생각해서 그의 교수 임용도 반대하고, 칸토어를 강력하게 비판하며 공격한다. 칸토어는 자신을 비판하는 수학자들을 향해 '수학의 본질은 자유에 있다.'라고 말하였다고 한다.

 

칸토어를 인정해준 수학자들

반대하는 자만 있던 것이 아니라 칸토어를 인정한 수학자들도 존재한다. 앞서 얘기했던 데데킨트, 미탁레플러, 에르미트 등과 같은 수학자들은 그를 인정했다. 1901년 런던 수학회의 명예 회원으로 칸토어를 추대하기도 한다. 또한 힐베르트 수학자는 '칸토어의 집합론은 수학자의 두뇌가 만들어 낸 가장 훌륭한 최고의 업적'이라 말하며 그를 높여주며 칸토어의 집합론을 인정한다. 

 

어디를 가나 나를 좋아해 주는 사람, 싫어하는 사람 둘 다 존재하는 것 같다. 칸토어가 자신을 지지해주는 사람을 보면서 스트레스를 덜 받았으면 어땠을까.. 아쉬운 마음이 드는 건 그의 성격으로 인하여 그의 생이 너무 힘들었을 것 같다는 생각이 들어서이다. 정신병까지 얻을 정도이면 그 스트레스는 상당했었을 테니깐.

오늘은 무한의 세계에 대한 새로운 주장을 했던 칸토어를 만나보았다. 다음 시간에 또 다른 수학 이야기를 만나보도록 하자.