생활 속 수학이야기9-도형의 속의 비밀

도형 속의 비밀

오늘은 도형에 담겨 있는 다양한 비밀들에 대하여 알아보고자 한다. 맨홀 뚜껑은 왜 원형일까? 국가끼리의 중요한 회의는 왜 원형 모양의 탁자에서 이루어질까? 삼각대 발은 왜 3개일까? 과일은 왜 피라미드 모양으로 전시될까? 우리가 그냥 아무 생각 없이 지나쳤던 것들에 비밀이 숨겨져 있었다는 사실. 그 비밀을 알아보자. 

원

우선 도형들 중 원에 대하여 알아보자. 원이라는 것은 무엇일까? 원은 한 점으로부터의 거리가 같은 점들을 이어서 만든 도형을 말한다. 즉 한 점으로부터 동등한 위치에 있는 점들의 모임이다. 

원탁회의와 로마의 원형극장

국가의 정상들이 만나서 회의를 할 때에는 원탁에 둘러 앉아 회의를 하는 경우가 많이 있다. 원탁 상에 앉은 사람들은 모두 동등한 수평적인 관계를 의미를 지니고 있다는 의미를 지니고 있는 것이다. 그래서 사각형 모양의 테이블이 아니라 원형을 고집한다. 

로마 원형극장은 원 모양을 하고 있다. 관람자들이 어디에 앉든지 중앙으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있어야 누구든 잘 볼 수가 있기 때문이다. 그래서 극장의 모양도 원형을 만든 것이다. 

 

맨홀은 왜 원형일까?

거리를 지나갈 때 보면 바닥에 있는 맨홀 뚜껑은 거의 원형인 것을 알 수 있다. 네모 모양의 맨홀 뚜껑을 상상해보자. 사각형에는 대각선이 존재한다. 이 대각선은 네 변의 길이보다 길게 된다. 그래서 사각형의 맨홀 뚜껑을 세우게 되면 이 대각선 방향으로 맨홀이 빠질 수가 있다. 그러나 원형 모양으로 뚜껑을 약간 크게 만들게 되면 뚜껑이 이 맨홀로 빠질 염려가 없고 구멍에 걸리기 때문에 맨홀 뚜껑을 원형으로 만드는 것이다. 

 

평면을 이루는 조건

사진을 찍을 때 사용하는 삼각대를 생각해 보자. 삼각대는 다리가 세 개이다. 왜 의자처럼 네 개를 만들지 않고 세 개를 만들었을까? 이유는 점 세 개가 한 평면을 만들 수 있기 때문이다. 그래서 바닥의 모양과는 상관이 없이 안정적인 평면을 만들어서 사진을 찍을 수 있도록 다리가 세 개인 것이다. 

좀 더 자세히 살펴보자. 두 점을 지나는 곡선은 무수히 많지만 두 점을 지나는 직선은 단 하나 뿐이다. 세 점을 지나는 평면은 단 하나뿐이므로 하나의 평면을 만들기 위해서는 세 점이 필요하다. 

 

면심입방쌓기(육각조밀쌓기)

면심입방쌓기라는 것은 네 개의 구를 모아 놓았을 때 가운데에 생기는 틈에 구를 다시 배열하고, 육각조밀쌓기는 세 개의 구를 모을 때 그 사이에 생기는 틈에 구를 배열하는 것을 말한다. 어렵게 느껴지는가? 좀 더 쉽게 설명해보자.

과일을 쌓는 방법

과일가게에서 과일이 진열된 모습을 본 적이 있는가? 과일들을 보통 피라미드 모양으로 쌓아 올리는 것을 볼 수 있다. 맨 아래층은 가로와 세로로 열을 맞추어 배열하고 그다음 층은 아래층에 있는 과일들 사이에 생긴 틈에 배열하는 방식으로 계속 쌓아 올려진다. 이 방식은 주어진 공간에 구를 가장 빽빽하게 쌓는 방법과 동일하다. 별 것 아닌 것 같은 이 방법이 위에 이야기하였던 면심입방쌓기를 말한다. 이것은 1611년 케플러가 구를 쌓을 때는 이 피라미드 방법보다 더 촘촘하게 쌓는 방법이 없다는 가설을 제기하게 되었고, 이것이 '케플러의 추측'이라고 불리는 것으로 390년 가까이 사람들이 이 가설을 증명하지 못했다고 한다. 이 증명은 1998년 미국의 헤일스에 의해 250쪽이나 되는 논문으로 증명되었다고 한다. 

 

초콜릿을 통한 발견

프리스턴 대학교의 물리학자 채킨 교수가 있었다. 그가 어느 날 제자들에게 연구실의 큰 드럼통을 초콜릿으로 채우라고 농담을 했고, 가장 많은 양의 초콜릿을 담기 위해서는 어떤 모양이어야 할까라는 생각이 연구의 출발이었다. 그는 어떤 공간을 구로 채울 때와 타원 모양으로 채울 때의 밀도를 비교한 연구를 발표하였다. 결과는 이러하다. 구슬(구 모양)로 채울 때는 밀도가 0.64였지만 타원체로 채울 때는 밀도가 0.68이었다고 한다. 즉 타원체가 공간을 더 빽빽하게 메울 수 있다는 결과를 이끌어 냈다고 한다. 이 연구 결과로 높은 밀도의 세라믹 물질을 고안하는 등 실용적으로 활용하였다고 한다.

 

지금까지 우리는 다양한 도형들에 숨겨진 이야기들을 나누어 보았다. 다음 시간에도 또 다른 수학 이야기로 찾아오고자 한다.